Mamason Blog

PID Control(Proportional Integrative Derivative)，屬於系統控制的領域，這方法可消弭一些外界變異或干擾影響，讓系統控制可預測，參數設定得好，就可以又快又穩又準。(引自：http://4rdp.blogspot.com/2008/05/pid-speed-control.html)

PID是以它的三種糾正演算法而命名的。這三種演算法都是用加法調整被控制的數值。而實際上這些加法運算大部分變成了減法運算因為被加數總是負值。這三種演算法是：
1. 比例- 來控制當前，誤差值和一個負常數P（表示比例）相乘，然後和預定的值相加。P只是在控制器的輸出和系統的誤差成比例的時候成立。比如說，一個電熱器的控制器的比例尺範圍是10°C，它的預定值是20°C。那麼它在10°C的時候會輸出100%，在15°C的時候會輸出50%，在19°C的時候輸出10％，注意在誤差是0的時候，控制器的輸出也是0。

2. 積分 - 來控制過去，誤差值是過去一段時間的誤差和，然後乘以一個負常數I，然後和預定值相加。I從過去的平均誤差值來找到系統的輸出結果和預定值的平均誤差。一個簡單的比例系統會振蕩，會在預定值的附近來回變化，因為系統無法消除多餘的糾正。通過加上一個負的平均誤差比例值，平均的系統誤差值就會總是減少。所以，最終這個PID迴路系統會在預定值定下來。

3. 導數 - 來控制將來，計算誤差的一階導，並和一個負常數D相乘，最後和預定值相加。這個導數的控制會對系統的改變作出反應。導數的結果越大，那麼控制系統就對輸出結果作出更快速的反應。這個D參數也是PID被稱為可預測的控制器的原因。D參數對減少控制器短期的改變很有幫助。一些實際中的速度緩慢的系統可以不需要D參數。

(引自：維基百科)

以下為PID一般方程式，適用於任何可控制回授系統，
E(t) = R(t) – Y(t)
// R(t) is a set point to reach
// Y(t) is a measuring value
// E(t) is error
P(t) = E(t) // P(t) is Proportional function
I(t) = I(t-1) + E(t) // I(t) is Integrative function
D(t) = E(t) – E(t-1) // D(t) is Derivative function


U(t) = Kp*P(t) + Ki*I(t) + Kd*D(t)
// U(t) is control vaule
// Kp,Ki,Kd are the Proportional Integrative Derivative gains


以下以樂高NXT 馬達為控制範例(引自：http://4rdp.blogspot.com/2008/05/pid-speed-control.html)，下列兩式為 NXT 馬達特有方程式。
Power = U(t) / 8 => Power為真實輸出的命令
Y(t) = U(t-2)


U(t) 為系統估算出的轉速，依據實驗數據所知，Power = 100 時，全速轉速約為 800° / second，因此 Power = U(t) / 8。
而 Y(t) = U(t-2)，是因為 NXT馬達轉速回應有一秒延遲的現象 (1 second deadtime)。


系統需求為:目標速度R(t) = 500
在此設定Kp = 0.4, Ki = 0.4, Kd = 0

	目前速度	速度誤差	P 係數	I 係數	D 係數
	Y(t) =	E(t) = Error	P(t) =	I(t) =	D(t) =	U(t) =	Power =
	U(t-2)	R(t) - Y(t)	E(t)	I(t-1) + E(t)	E(t) - E(t-1)	Kp*P(t) + Ki*I(t) + Kd*D(t)	U(t) / 8
Step	Measuring Speed
0	0	500	500	500	500	400	50
1	0	500	500	1000	0	600	75
2	400	100	100	1100	-400	480	60
3	600	-100	-100	1000	-200	360	45
4	480	20	20	1020	120	416	52
5	360	140	140	1160	120	520	65
6	416	84	84	1244	-56	531.2	66
7	520	-20	-20	1224	-104	481.6	60
8	531.2	-31.2	-31.2	1192.8	-11.2	464.64	58
9	481.6	18.4	18.4	1211.2	49.6	491.84	61
10	464.64	35.36	35.36	1246.56	16.96	512.77	64
11	491.84	8.16	8.16	1254.72	-27.2	505.15	63
12	512.77	-12.77	-12.77	1241.95	-20.93	491.67	61
13	505.15	-5.15	-5.15	1236.8	7.62	492.66	62
14	491.67	8.33	8.33	1245.13	13.48	501.38	63
15	492.66	7.34	7.34	1252.47	-0.99	503.92	63
16	501.38	-1.38	-1.38	1251.09	-8.72	499.88	62
17	503.92	-3.92	-3.92	1247.16	-2.54	497.3	62
18	499.88	0.12	0.12	1247.28	4.04	498.96	62
19	497.3	2.7	2.7	1249.99	2.59	501.08	63
20	498.96	1.04	1.04	1251.03	-1.66	500.83	63
21	501.08	-1.08	-1.08	1249.95	-2.12	499.55	62
22	500.83	-0.83	-0.83	1249.12	0.25	499.32	62
23	499.55	0.45	0.45	1249.57	1.28	500.01	63
24	499.32	0.68	0.68	1250.25	0.23	500.37	63
25	500.01	-0.01	-0.01	1250.25	-0.69	500.09	63
26	500.37	-0.37	-0.37	1249.87	-0.36	499.8	62
27	500.09	-0.09	-0.09	1249.78	0.28	499.87	62
28	499.8	0.2	0.2	1249.98	0.3	500.07	63
29	499.87	0.13	0.13	1250.11	-0.07	500.09	63
30	500.07	-0.07	-0.07	1250.03	-0.2	499.98	62
31	500.09	-0.09	-0.09	1249.94	-0.02	499.94	62
32	499.98	0.02	0.02	1249.96	0.11	499.99	62
33	499.94	0.06	0.06	1250.02	0.05	500.03	63
34	499.99	0.01	0.01	1250.03	-0.05	500.02	63
35	500.03	-0.03	-0.03	1250	-0.04	499.99	62
36	500.02	-0.02	-0.02	1249.98	0.02	499.99	62
37	499.99	0.01	0.01	1249.99	0.03	500	63
38	499.99	0.01	0.01	1250.01	0	500.01	63
39	500	0	0	1250.01	-0.02	500	63
40	500.01	-0.01	-0.01	1250	-0.01	499.99	62
41	500	0	0	1250	0.01	500	62
42	499.99	0.01	0.01	1250	0.01	500	63
43	500	0	0	1250	0	500	63
44	500	0	0	1250	0	500	62
45	500	0	0	1250	0	500	62
46	500	0	0	1250	0	500	62
47	500	0	0	1250	0	500	63
48	500	0	0	1250	0	500	63
49	500	0	0	1250	0	500	62
50	500	0	0	1250	0	500	62
51	500	0	0	1250	0	500	63
52	500	0	0	1250	0	500	63
53	500	0	0	1250	0	500	62
54	500	0	0	1250	0	500	62
55	500	0	0	1250	0	500	62
56	500	0	0	1250	0	500	63
57	500	0	0	1250	0	500	63
58	500	0	0	1250	0	500	62
59	500	0	0	1250	0	500	62

由上例可知馬達約在Step 50時進入轉速穩定。
通常使用 0 <= K <= 2。 由於NXT 馬達反應速度並不快，因此 Kd = 0 就可以了。本例的 K值很大，是因為 NXC 無法使用小數，所以 K = 40，代表 K = 40 / 100 = 0.4。